Блуждание в лабиринте.
На рисунке изображен лабиринт, в котором хранятся сокровища и имеется западня. Неудачливые охотники за сокровищами, попадая в западню, погибают. Какова вероятность избежать западни и добраться до сокровищ?
Пройдя от входа А до пункта 1 искатель сокровищ может пройти прямо (тогда он сразу же попадает в западню) или повернуть налево (тогда он попадает в пункт 2). Будем полагать, что выбор того или иного из этих двух вариантов осуществляется с одной и той же вероятностью, т.е. с вероятностью 1/2. Попав в пункт 2, искатель сокровищ с вероятностью 1/3 выбирает далее путь либо прямо, либо направо, либо налево. Первые два пути приводят в западню, а третий приводит в пункт 3. Вероятность попасть от входа А в пункт 3 равна произведению вероятности повернуть в пункте 1 налево вероятности повернуть в пункте 2 также налево:1/2*1/3 . Нетрудно сообразить, что вероятность добраться от А до пункта 4 равна:1/2*1/3*1/2 ; вероятность добраться от А до пункта 5 равна !\"*1/3*1/2*1/3 ; наконец, вероятность попасть из А в хранилище сокровищ равнаР =1/2*1/3*1/2*1/3*1/2 =1/72 . Единственный путь внутри лабиринта от входа до сокровищ показан на рисунке штриховой линией. Он реализуется с вероятностью Р=1/72. Вероятность того, что искатель сокровищ попадет в западню, рассчитывается аналогично и составляет Р=71/72.
Пройдя от входа А до пункта 1 искатель сокровищ может пройти прямо (тогда он сразу же попадает в западню) или повернуть налево (тогда он попадает в пункт 2). Будем полагать, что выбор того или иного из этих двух вариантов осуществляется с одной и той же вероятностью, т.е. с вероятностью 1/2. Попав в пункт 2, искатель сокровищ с вероятностью 1/3 выбирает далее путь либо прямо, либо направо, либо налево. Первые два пути приводят в западню, а третий приводит в пункт 3. Вероятность попасть от входа А в пункт 3 равна произведению вероятности повернуть в пункте 1 налево вероятности повернуть в пункте 2 также налево:1/2*1/3 . Нетрудно сообразить, что вероятность добраться от А до пункта 4 равна:1/2*1/3*1/2 ; вероятность добраться от А до пункта 5 равна !\"*1/3*1/2*1/3 ; наконец, вероятность попасть из А в хранилище сокровищ равнаР =1/2*1/3*1/2*1/3*1/2 =1/72 . Единственный путь внутри лабиринта от входа до сокровищ показан на рисунке штриховой линией. Он реализуется с вероятностью Р=1/72. Вероятность того, что искатель сокровищ попадет в западню, рассчитывается аналогично и составляет Р=71/72.
Задача о звездочете.
Некий властелин разгневался на звездочета и повелел палачу отрубить ему голову. Однако в последний момент властелин смягчился и решил дать звездочету возможность спастись. Он взял два черных и два белых шара и предложил звездочету произвольным образом распределить их по двум урнам. Палач должен выбрать наугад одну из урн и наугад вытащить из нее шар. Если шар окажется белым, то звездочет будет помилован, а если черным, казнен. Как должен звездочет распределить шары по двум урнам, чтобы иметь наибольшее число шансов спастись?
Допустим, что звездочет положит в каждую урну по одному белому и одному черному шару. В этом случае безразлично, к какой урне подойдет палач. Из любой урны он с вероятностью 1/2 вынет белый шар. Значит, вероятность спастись звездочету равна 1/2. Такова же будет вероятность спастись, если звездочет положит в одну урну два белых шара, а в другую два черных.
Все решит выбор палачом той или иной урны. Палач с равной вероятностью может подойти как к белой, так и к черной урне.
Лучше всего, если звездочет положит в одну урну белый шар, а в другую белый и два черных. Если палач подойдет к первой урне, то звездочет спасется наверняка. Если же палач подойдет ко второй урне, то звездочет будет иметь вероятность спастись, равную 1/3. Так как вероятность того, что палач подойдет к той или иной урне, равна 1/2, то полная вероятность звездочету спастись может быть вычислена следующим образом:
(1/2 ) + (1/2*1/3 ) =2/3 .
Если же звездочет положит в одну урну черный шар, а в другую черный и два белых шара , то вероятность спастись окажется наименьшей:
(1/2*0 ) + ( 1/2*1/3) = 1/3.
Итак, чтобы иметь наибольшие шансы спастись, звездочет должен избрать вариант распределения шаров по урнам, показанный на рис. 3В (Приложение А). Это есть наилучшая тактика. Наихудшая тактика отвечает варианту распределения шаров, показанному на рис. 3Г (Приложение А). Разумеется, выбор наилучшей тактики не гарантирует спасения. Риск хотя и уменьшается, но все же остается.
Допустим, что звездочет положит в каждую урну по одному белому и одному черному шару. В этом случае безразлично, к какой урне подойдет палач. Из любой урны он с вероятностью 1/2 вынет белый шар. Значит, вероятность спастись звездочету равна 1/2. Такова же будет вероятность спастись, если звездочет положит в одну урну два белых шара, а в другую два черных.
Все решит выбор палачом той или иной урны. Палач с равной вероятностью может подойти как к белой, так и к черной урне.
Лучше всего, если звездочет положит в одну урну белый шар, а в другую белый и два черных. Если палач подойдет к первой урне, то звездочет спасется наверняка. Если же палач подойдет ко второй урне, то звездочет будет иметь вероятность спастись, равную 1/3. Так как вероятность того, что палач подойдет к той или иной урне, равна 1/2, то полная вероятность звездочету спастись может быть вычислена следующим образом:
(1/2 ) + (1/2*1/3 ) =2/3 .
Если же звездочет положит в одну урну черный шар, а в другую черный и два белых шара , то вероятность спастись окажется наименьшей:
(1/2*0 ) + ( 1/2*1/3) = 1/3.
Итак, чтобы иметь наибольшие шансы спастись, звездочет должен избрать вариант распределения шаров по урнам, показанный на рис. 3В (Приложение А). Это есть наилучшая тактика. Наихудшая тактика отвечает варианту распределения шаров, показанному на рис. 3Г (Приложение А). Разумеется, выбор наилучшей тактики не гарантирует спасения. Риск хотя и уменьшается, но все же остается.
Задача с разноцветными шарами.
В ящике находятся три красных и один зеленый шар. Вы наугад вынимаете из ящика два шара. Какая вероятность больше – вынуть два красных шара или вынуть красный и зеленый шары?
На этот вопрос часто отвечают, что более вероятно вынуть два красных шара, поскольку красных шаров в ящике в три раза больше, чем зеленых. В действительности же, вероятность вынуть два красных шара равна вероятности вынуть красный и зеленый шары. Из рисунка видно, что существуют три способа вынуть два красных и три способа вынуть красный и зеленый шары. Следовательно, рассматриваемые исходы равновероятны.
Наконец, можно вычислить вероятность исходов. Вероятность вынуть два красных шара равна произведению двух вероятностей. Первая есть вероятность вынуть красный шар из совокупности четырех шаров (три красных плюс один зеленый); она равна 3/4. Вторая есть вероятность вынуть красный шар из совокупности трех шаров (два красных плюс один зеленый); она равна 2/3. Таким образом, вероятность вынуть подряд два красных шара равна 1/2 .
Вероятность вынуть красный и зеленый шары может быть представлена в виде суммы P(ск) + P(кс), где P(ск) – вероятность вынуть красный шар из совокупности четырех шаров (три красных плюс один зеленый), умноженная на вероятность вынуть зеленый шар из совокупности трех шаров (два красных плюс один зеленый), а P(кс) – вероятность вынуть зеленый шар из совокупности четырех шаров (в этом случае второй шар будет с достоверностью красным). Иначе говоря, P(кс) – вероятность сначала вынуть красный, а затем зеленый шар, тогда как Pск – вероятность сначала вынуть зеленый, а затем красный шар. Поскольку Pск=1/4 и Pкс = 1/4 , то следовательно, вероятность вынуть пару разноцветных шаров равна 1/4 + 1/4 = 1/2.
На этот вопрос часто отвечают, что более вероятно вынуть два красных шара, поскольку красных шаров в ящике в три раза больше, чем зеленых. В действительности же, вероятность вынуть два красных шара равна вероятности вынуть красный и зеленый шары. Из рисунка видно, что существуют три способа вынуть два красных и три способа вынуть красный и зеленый шары. Следовательно, рассматриваемые исходы равновероятны.
Наконец, можно вычислить вероятность исходов. Вероятность вынуть два красных шара равна произведению двух вероятностей. Первая есть вероятность вынуть красный шар из совокупности четырех шаров (три красных плюс один зеленый); она равна 3/4. Вторая есть вероятность вынуть красный шар из совокупности трех шаров (два красных плюс один зеленый); она равна 2/3. Таким образом, вероятность вынуть подряд два красных шара равна 1/2 .
Вероятность вынуть красный и зеленый шары может быть представлена в виде суммы P(ск) + P(кс), где P(ск) – вероятность вынуть красный шар из совокупности четырех шаров (три красных плюс один зеленый), умноженная на вероятность вынуть зеленый шар из совокупности трех шаров (два красных плюс один зеленый), а P(кс) – вероятность вынуть зеленый шар из совокупности четырех шаров (в этом случае второй шар будет с достоверностью красным). Иначе говоря, P(кс) – вероятность сначала вынуть красный, а затем зеленый шар, тогда как Pск – вероятность сначала вынуть зеленый, а затем красный шар. Поскольку Pск=1/4 и Pкс = 1/4 , то следовательно, вероятность вынуть пару разноцветных шаров равна 1/4 + 1/4 = 1/2.
Правило умножения
Правило умножения вероятностей (для независимых событий) формулируется так:
Вероятность того, что произойдут сразу несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий.
Впрочем, буквально понимаемая одновременность событий необязательна. Вместо того чтобы подбрасывать одновременно два кубика, можно подбросить два раза один и тот же кубик. Вероятность одновременного выпадение четверок при подбрасывании двух кубиков совпадает с вероятности того, что четверка выпадет при обоих подбрасываниях одного и того же кубика.
Во многих случаях при вычислении вероятности события применяют совместно оба правила (сложения и умножение вероятности). Пусть нас интересует вероятность P того, что при подбрасывании двух кубиков выпадут одинаковые очки на обоих кубиках. Поскольку безразлично, какие именно очки выпадут (важно, чтобы они были одинаковыми), то можно воспользоваться правилом сложения вероятностей:
P = P11 + P22 + P33 + P44 + P55 + P66 .
В свою очередь, каждая из вероятностей Pjj есть произведение Pj • Pj. Таким oбразом,
P = (P1 • P1 ) +(P2 • P2 ) + … + (P6 • P6 ) =6 •(1/6•1/6) =1/6 .
Этот результат можно получить сразу из рисунка 1 Приложения А, где благоприятные исходы выделены красным цветом: (1;1), (2;2)… (5;5), (6;6). Всего таких исходов шесть. Следовательно, P=1/6.
Вероятность того, что произойдут сразу несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий.
Впрочем, буквально понимаемая одновременность событий необязательна. Вместо того чтобы подбрасывать одновременно два кубика, можно подбросить два раза один и тот же кубик. Вероятность одновременного выпадение четверок при подбрасывании двух кубиков совпадает с вероятности того, что четверка выпадет при обоих подбрасываниях одного и того же кубика.
Во многих случаях при вычислении вероятности события применяют совместно оба правила (сложения и умножение вероятности). Пусть нас интересует вероятность P того, что при подбрасывании двух кубиков выпадут одинаковые очки на обоих кубиках. Поскольку безразлично, какие именно очки выпадут (важно, чтобы они были одинаковыми), то можно воспользоваться правилом сложения вероятностей:
P = P11 + P22 + P33 + P44 + P55 + P66 .
В свою очередь, каждая из вероятностей Pjj есть произведение Pj • Pj. Таким oбразом,
P = (P1 • P1 ) +(P2 • P2 ) + … + (P6 • P6 ) =6 •(1/6•1/6) =1/6 .
Этот результат можно получить сразу из рисунка 1 Приложения А, где благоприятные исходы выделены красным цветом: (1;1), (2;2)… (5;5), (6;6). Всего таких исходов шесть. Следовательно, P=1/6.
Сложение вероятностей
Какова вероятность того, что наугад извлеченный шар окажется либо красным, либо зеленым? Число благоприятных исходов m(В)+m(С)=6+2=8, поэтому искомая вероятность равна P(В)+P(С) =(m(В)+m(С))/n=8/15.
Мы видим, что P(В+С)= P(В)+P(С).
Вероятность вытащить либо красный, либо зеленый шар равна сумме двух вероятностей: вероятности вытащить красный и вероятности вытащить зеленый. Вероятность вытащить шар, цвет которого будет либо красным, либо зеленым, либо белым, есть сумма трех вероятностей: Р(А)+ P(В) +P(С). Она равна единице (7/15 + 2/5 + 2/15)=1. Это естественно, поскольку рассматриваемая вероятность есть вероятность достоверного события.
Правило сложения вероятностей (для несовместных событий):
Вероятность того, что произойдет какое-либо из нескольких несовместных событий, равна сумме вероятностей рассматриваемых событий.
Мы видим, что P(В+С)= P(В)+P(С).
Вероятность вытащить либо красный, либо зеленый шар равна сумме двух вероятностей: вероятности вытащить красный и вероятности вытащить зеленый. Вероятность вытащить шар, цвет которого будет либо красным, либо зеленым, либо белым, есть сумма трех вероятностей: Р(А)+ P(В) +P(С). Она равна единице (7/15 + 2/5 + 2/15)=1. Это естественно, поскольку рассматриваемая вероятность есть вероятность достоверного события.
Правило сложения вероятностей (для несовместных событий):
Вероятность того, что произойдет какое-либо из нескольких несовместных событий, равна сумме вероятностей рассматриваемых событий.
Ошибка Даламбера
Другой великий француз – Даламбер – вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов.
Задача: Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?
Решение, предложенное Даламбером: Опыт имеет три равновозможных исхода:
1. обе монеты упали на «орла»;
2. обе монеты упали на «решку»;
3. одна из монет упала на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/3.
Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода:
1. первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»;
2. первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»;
3. первая монета упала на «орла», а вторая на - «решку»;
4. первая монета упала на «решку», а вторая на - «орла».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна = .
Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исхода в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.
Задача: Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?
Решение, предложенное Даламбером: Опыт имеет три равновозможных исхода:
1. обе монеты упали на «орла»;
2. обе монеты упали на «решку»;
3. одна из монет упала на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/3.
Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода:
1. первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»;
2. первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»;
3. первая монета упала на «орла», а вторая на - «решку»;
4. первая монета упала на «решку», а вторая на - «орла».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна = .
Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исхода в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.
Классическое определение вероятности
Существует несколько определений вероятности: классическое, частотное, геометрическое. Мы рассмотрим классическое определение.
Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет – герб или «решка». Но мы знаем, что шансы выпадения как герба, так и «решки» одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик.
Будем называть равновозможными исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение герба и «решки» - равновозможные исходы.
Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместными, если при появлении одного из них в единичном испытании исключается появление другого в том же испытании. Выпадение граней при бросании кубика - несовместные исходы.
Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов.
Пусть P(А) - вероятность события A, m(А) - число благоприятных исходов, n- общее число несовместных равновозможных исходов. Согласно классическому определению вероятности
P(А) = m(A)/n
Если m(А) =n, то P(А) =1. Событие A есть достоверное событие (оно реализуется в каждом исходе). Если m(А) =0, то P(А) =0. Событие A есть невозможное событие (оно вообще не реализуется). Вероятность случайного события лежит между 0 и 1.
Пусть событие A- выпадение грани кубика с числом очков, делящимся без остатка на три. В этом случае m(А) =2. Поскольку n=6, то вероятность данного события есть 1/3. Рассмотрим еще один Пример: В мешке находится 15 шаров, различающихся только по цвету (7 белых, 2 зеленых и 6 красных). Вы вытаскиваете наугад один шар. Какова вероятность того, что извлеченный из мешка шар окажется белым (красным, зеленым)?
Извлечение белого шара будем рассматривать как событие A, красного - как событие B, зеленого - как событие C. Число исходов, благоприятных для извлечения шара того или иного цвета, равно числу шаров соответствующего цвета: m(А)=7, m(В) =6, m(С) =2. Используя формулу и учитывая, что n=15, находим искомые вероятности:
P(А) =m(А)/n = 7/15 ; P(В)=m(А)= 2/5 ; P(С)=m(С)= 2/15.
Рассмотренное определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами.
Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет – герб или «решка». Но мы знаем, что шансы выпадения как герба, так и «решки» одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик.
Будем называть равновозможными исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение герба и «решки» - равновозможные исходы.
Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместными, если при появлении одного из них в единичном испытании исключается появление другого в том же испытании. Выпадение граней при бросании кубика - несовместные исходы.
Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов.
Пусть P(А) - вероятность события A, m(А) - число благоприятных исходов, n- общее число несовместных равновозможных исходов. Согласно классическому определению вероятности
P(А) = m(A)/n
Если m(А) =n, то P(А) =1. Событие A есть достоверное событие (оно реализуется в каждом исходе). Если m(А) =0, то P(А) =0. Событие A есть невозможное событие (оно вообще не реализуется). Вероятность случайного события лежит между 0 и 1.
Пусть событие A- выпадение грани кубика с числом очков, делящимся без остатка на три. В этом случае m(А) =2. Поскольку n=6, то вероятность данного события есть 1/3. Рассмотрим еще один Пример: В мешке находится 15 шаров, различающихся только по цвету (7 белых, 2 зеленых и 6 красных). Вы вытаскиваете наугад один шар. Какова вероятность того, что извлеченный из мешка шар окажется белым (красным, зеленым)?
Извлечение белого шара будем рассматривать как событие A, красного - как событие B, зеленого - как событие C. Число исходов, благоприятных для извлечения шара того или иного цвета, равно числу шаров соответствующего цвета: m(А)=7, m(В) =6, m(С) =2. Используя формулу и учитывая, что n=15, находим искомые вероятности:
P(А) =m(А)/n = 7/15 ; P(В)=m(А)= 2/5 ; P(С)=m(С)= 2/15.
Рассмотренное определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами.
Случайные события
Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: «Это очень возможно», «Это непременно произойдет», «Это маловероятно», «Это никогда не случится».
Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.
Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Например:
1) в следующем году первый снег выпадет в воскресенье;
2) при бросании кубика выпадет шестерка.
Перечисленные выше события 1), 2) – случайные.
Есть и такие события, которые в данных условиях произойти не могут. Их называют невозможными событиями. Например:
3) в следующем году снег вообще не выпадет;
4) при бросании кубика выпадет семерка.
Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:
5) в следующем году выпадет снег;
6) при бросании кубика выпадет число очков, меньшее семи.
Невозможные и достоверные события встречаются в жизни сравнительно редко. Поэтому можно сказать, что живем мы в мире случайных событий (в теории вероятностей принято все события называть случайными, а невозможные и достоверные рассматривать как их специальные разновидности).
Различают так же
- несовместные события, которые не могут наступить одновременно (например, выпадение граней при бросании кубика);
- независимые события (например, на обоих бросаемых кубиках выпадет шестерка);
- противоположные события (например, на кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число).
Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.
Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Например:
1) в следующем году первый снег выпадет в воскресенье;
2) при бросании кубика выпадет шестерка.
Перечисленные выше события 1), 2) – случайные.
Есть и такие события, которые в данных условиях произойти не могут. Их называют невозможными событиями. Например:
3) в следующем году снег вообще не выпадет;
4) при бросании кубика выпадет семерка.
Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:
5) в следующем году выпадет снег;
6) при бросании кубика выпадет число очков, меньшее семи.
Невозможные и достоверные события встречаются в жизни сравнительно редко. Поэтому можно сказать, что живем мы в мире случайных событий (в теории вероятностей принято все события называть случайными, а невозможные и достоверные рассматривать как их специальные разновидности).
Различают так же
- несовместные события, которые не могут наступить одновременно (например, выпадение граней при бросании кубика);
- независимые события (например, на обоих бросаемых кубиках выпадет шестерка);
- противоположные события (например, на кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число).
А знакомы ли Вы с вероятностью?
Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, а сумма четных чисел четна. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении.
Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией о них мы ни располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег, или какое число очков выпадет при бросании кубика. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Сталкиваясь со случайной ситуацией, дети думают, что можно предсказать ее исход; становясь немного постарше, они отвечают, что ничего нельзя утверждать; но мало-помалу они открывают, что за кажущимся хаосом мира случайности можно обнаружить закономерности, которые позволяют неплохо ориентироваться в реальности.
Случай имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орел» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Обратите внимание на слово «приблизительно» - закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей. С ее помощью можно с большой степенью уверенности (но все равно не наверняка!) предсказать и дату выпадения первого снега, и число очков на кубике.
«Математика случая» — так еще в XVII веке назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль.
— Случай? А зачем его изучать? — спросите вы.
Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях.
И сегодня далеко не все достаточно ясно представляют себе, что за обилием окружающих нас случайностей скрыты специфические закономерности (вероятностные закономерности).
Вероятностные представления достаточно широко использовались уже древнегреческими философами (Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар и др.). Классическое определение вероятностей сформулировано швейцарским математиком Я. Бернулли. Геометрическое определение вероятности стали применять в 18 веке. Широкое применение вероятностных представлений в физике и в самых различных областях практической деятельности человека привело к тому, что к началу 20 века назрела необходимость уточнения понятия вероятности.
Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией о них мы ни располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег, или какое число очков выпадет при бросании кубика. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Сталкиваясь со случайной ситуацией, дети думают, что можно предсказать ее исход; становясь немного постарше, они отвечают, что ничего нельзя утверждать; но мало-помалу они открывают, что за кажущимся хаосом мира случайности можно обнаружить закономерности, которые позволяют неплохо ориентироваться в реальности.
Случай имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орел» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Обратите внимание на слово «приблизительно» - закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей. С ее помощью можно с большой степенью уверенности (но все равно не наверняка!) предсказать и дату выпадения первого снега, и число очков на кубике.
«Математика случая» — так еще в XVII веке назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль.
— Случай? А зачем его изучать? — спросите вы.
Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях.
И сегодня далеко не все достаточно ясно представляют себе, что за обилием окружающих нас случайностей скрыты специфические закономерности (вероятностные закономерности).
Вероятностные представления достаточно широко использовались уже древнегреческими философами (Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар и др.). Классическое определение вероятностей сформулировано швейцарским математиком Я. Бернулли. Геометрическое определение вероятности стали применять в 18 веке. Широкое применение вероятностных представлений в физике и в самых различных областях практической деятельности человека привело к тому, что к началу 20 века назрела необходимость уточнения понятия вероятности.
Относительно новый раздел математики Теория вероятностей неразрывно связан с нашей повседневной жизнью. Это дает нам с вами замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми.
Устройства для получения наборов случайных чисел называют генераторами случайных чисел. Различают три типа таких генераторов: урны, кости, рулетки. Ящик с шарами, изображенный на рис.5 Приложения А представляет собой одну из разновидностей урн. Другая разновидность – лототрон, который используется в телепередачах спортлото.
Еще один тип генераторов случайных чисел - рулетка. Она представляет собой круг, разбитый на некоторое число секторов, каждому из которых соответствует определенная цифра (или число). Рулетка имеет вращающуюся по кругу стрелку (или катящийся шарик). Испытание состоит в том, чтобы привести в движение (толкнуть) стрелку и подождать, когда она остановится. Результатом испытанием является цифра, соответствующая тому сектору рулеточного круга, в пределах которого остановилась
стрелка. Рулетка с вращающейся стрелкой используется, например, в телепередаче «Что? Где? Когда?».
Пользуясь теорией вероятностей, можно определить какие виды лотереи предоставляют большее число вероятности выигрыша. Например, в «Лото-миллион» можно определить наилучшее расположение цифр для вероятности выигрыша и покупать билеты, выбирая их по принципу большей вероятности.
Метод прогнозирования природных катастроф, основанный на теории вероятностей, был изобретен еще в 1987 году Карен Кларк. В расчетах учитывались тысячи показателей – от скорости ураганного ветра до изменения цен на рынке. Когда в 1992 году на США обрушился ураган Эндрю, для всех то было полной неожиданностью, кроме самого ученого и его единомышленников.
Сегодня метод прогнозирования катастроф распространен настолько, что в расчеты вносят даже угрозу терроризма.
В настоящее время теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, атомная физика, химия, метеорология и т.д.). Например, подсчитано, что частота рождения мальчиков составляет 0,518, а девочек 0,482.
Изучив теорию вероятностей можно научиться вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать оптимальные решения. Но, решая вероятностные задачи нужно быть очень внимательным, ибо никакая другая область математики не содержит такое количество парадоксов, как теория вероятностей. И, пожалуй, главное объяснение этому – ее связь с реальным миром, в котором мы живем.
Мы предлагаем всем желающим совершить увлекательное путешествие по стране вероятностей. Вас ждут новые знания, неожиданные открытия, интересные задачи.
Если Вы готовы, то в путь!
ПУТЕШЕСТВИЕ НАЧИНАЕТСЯ!
Устройства для получения наборов случайных чисел называют генераторами случайных чисел. Различают три типа таких генераторов: урны, кости, рулетки. Ящик с шарами, изображенный на рис.5 Приложения А представляет собой одну из разновидностей урн. Другая разновидность – лототрон, который используется в телепередачах спортлото.
Еще один тип генераторов случайных чисел - рулетка. Она представляет собой круг, разбитый на некоторое число секторов, каждому из которых соответствует определенная цифра (или число). Рулетка имеет вращающуюся по кругу стрелку (или катящийся шарик). Испытание состоит в том, чтобы привести в движение (толкнуть) стрелку и подождать, когда она остановится. Результатом испытанием является цифра, соответствующая тому сектору рулеточного круга, в пределах которого остановилась
стрелка. Рулетка с вращающейся стрелкой используется, например, в телепередаче «Что? Где? Когда?».
Пользуясь теорией вероятностей, можно определить какие виды лотереи предоставляют большее число вероятности выигрыша. Например, в «Лото-миллион» можно определить наилучшее расположение цифр для вероятности выигрыша и покупать билеты, выбирая их по принципу большей вероятности.
Метод прогнозирования природных катастроф, основанный на теории вероятностей, был изобретен еще в 1987 году Карен Кларк. В расчетах учитывались тысячи показателей – от скорости ураганного ветра до изменения цен на рынке. Когда в 1992 году на США обрушился ураган Эндрю, для всех то было полной неожиданностью, кроме самого ученого и его единомышленников.
Сегодня метод прогнозирования катастроф распространен настолько, что в расчеты вносят даже угрозу терроризма.
В настоящее время теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, атомная физика, химия, метеорология и т.д.). Например, подсчитано, что частота рождения мальчиков составляет 0,518, а девочек 0,482.
Изучив теорию вероятностей можно научиться вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать оптимальные решения. Но, решая вероятностные задачи нужно быть очень внимательным, ибо никакая другая область математики не содержит такое количество парадоксов, как теория вероятностей. И, пожалуй, главное объяснение этому – ее связь с реальным миром, в котором мы живем.
Мы предлагаем всем желающим совершить увлекательное путешествие по стране вероятностей. Вас ждут новые знания, неожиданные открытия, интересные задачи.
Если Вы готовы, то в путь!
ПУТЕШЕСТВИЕ НАЧИНАЕТСЯ!